Nejmenší společný násobek ( $n$ )

Nejmenší společný násobek ( $n$ ) dvou nebo více přirozených čísel je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem všech těchto čísel. Jinými slovy, je to nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné všemi danými čísly.

Značení:

$n$ čísel $a$ a $b$ značíme jako $n(a, b)$ . Pro více čísel, např. $a, b, c$ , atd.

Jak najít $n$ ?

Existuje několik způsobů, jak najít nejmenší společný násobek:

Výpis násobků

Vypíšeme si několik prvních násobků každého z daných čísel.
Najdeme nejmenší číslo, které se vyskytuje ve výpisu násobků všech daných čísel.

Příklad: Najděte $n(3, 4)$ .

Násobky čísla 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Násobky čísla 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …

Nejmenší číslo, které se vyskytuje v obou seznamech, je 12. Proto $n(3, 4) = 12$ .

Příklad: Najděte $n(2, 3, 6)$ .

Násobky čísla 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Násobky čísla 3: 3, 6, 9, 12, 15, …
Násobky čísla 6: 6, 12, 18, …

Nejmenší číslo, které se vyskytuje ve všech třech seznamech, je 6. Proto $n(2, 3, 6) = 6$ .

Tento způsob je vhodný pro menší čísla.

Pomocí prvočíselného rozkladu:

Rozložíme každé z daných čísel na součin prvočísel.
$n$ je součin všech prvočísel, která se vyskytují v rozkladech daných čísel, přičemž každé prvočíslo vezmeme s nejvyšší mocninou, v jaké se v kterémkoli z rozkladů vyskytuje.

Příklad: Najděte $n(12, 18)$ .

Prvočíselný rozklad čísla 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$
Prvočíselný rozklad čísla 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$

Pro $n$ vezmeme:

Nejvyšší mocninu prvočísla 2: $2^2$
Nejvyšší mocninu prvočísla 3: $3^2$

$n(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ .

Příklad: Najděte $n(8, 15, 20)$ .

Prvočíselný rozklad čísla 8: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
Prvočíselný rozklad čísla 15: $15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$
Prvočíselný rozklad čísla 20: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$

Pro $n$ vezmeme:

Nejvyšší mocninu prvočísla 2: $2^3$
Nejvyšší mocninu prvočísla 3: $3^1$
Nejvyšší mocninu prvočísla 5: $5^1$

$n(8, 15, 20) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ .

Tento způsob je obecnější a funguje i pro větší čísla.

Využití největšího společného dělitele (D):

Pro dvě přirozená čísla $a$ a $b$ platí vztah:

$n(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{D(a, b)}$

Kde $D(a, b)$ je největší společný dělitel čísel $a$ a $b$ .

Příklad: Najděte $n(12, 18)$ pomocí D.

Nejprve najdeme $D(12, 18)$ . Dělitelé čísla 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. Největší společný dělitel je 6.
$n(12, 18) = \frac{12 \cdot 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ .

Tento způsob je užitečný, pokud umíme snadno najít D.

Vlastnosti $n$ :

$n(a, a) = a$
$n(a, 1) = a$
Pokud je $b$ násobkem $a$ , pak $n(a, b) = b$ .
$n(a, b) \ge a$ a $n(a, b) \ge b$

Využití $n$ :

Nejmenší společný násobek se používá v mnoha matematických situacích, například:

Sčítání a odčítání zlomků: Při sčítání nebo odčítání zlomků s různými jmenovateli musíme najít společný jmenovatel, kterým je obvykle $n$ původních jmenovatelů.
Řešení slovních úloh: Mnoho slovních úloh zahrnuje hledání časových intervalů, kdy se nějaké události opakují současně, nebo hledání nejmenšího množství potřebného k splnění určitých podmínek.
Teorie čísel: $n$ je základním pojmem v teorii čísel a používá se v různých důkazech a konstrukcích.

Kalkulačka

Spočítat NSN

Nejmenší společný násobek (nnn)